Artin 環が Noether 環であることの証明

Artin 環が Noether 環であることを示します。ブログのテストも兼ねています。

準備

表題の主張を証明する上で最も本質的なのは、Artin 局所環が Noether 環であることを証明する部分です。なので、まずは局所環の場合に問題を帰着します。

\(A\) を Artin 環とします。次のことはすぐにわかります：

\(I\subset A\) をイデアルとすると、準同型定理により、\(A/I\) も Artin 環である。
\(\mfp\subset A\) を \(A\) の素イデアルとする。このとき、\(A_{\mfp}\) も Artin 環である（なぜなら \(A_{\mfp}\) のイデアルは \(A\) のイデアル \(I\) を用いて \(IA_{\mfp}\) と書けるので）。
Artin 環の素イデアルは有限個である (もし無限個 \(\mfp_1,\cdots ,\mfp_n,\cdots \) あれば、\(\bigcap_{i < n}\mfp_i\) によってイデアルの無限降鎖ができるので)。
Artin 整域は体である。これを示すためには Artin 局所整域が体であれば良いが、有限生成イデアル \((0)\neq I\) を任意にとれば中山の補題で \(I^n\subsetneq I^{n-1}\) が任意の \(n\) で成立することがわかるので、矛盾である。
特に、Artin 環の素イデアルは全て極大イデアルである。実際、素イデアル \(\mfp\subset A\) を任意にとれば、\(A/\mfp\) は体なので、\(\mfp\) は極大イデアルにもなっている。

以上の観察から、\(\mathrm{Spec}(A)\) は有限離散空間であることがわかります。特に、\(A\) のすべての素イデアルを \(\mfp_1,\cdots ,\mfp_n\) とすれば、\(A\to \prod_{i=1}^nA_{\mfp_i}\) は忠実平坦になります。

\(A\to B\) を忠実平坦な環の射とすると、\(A\to B\tto B\otimes_AB\) は環の圏 \(\Ring\) のイコライザーの図式である。ただし、\(B\tto B\otimes_AB\) は \(b\mapsto b\otimes 1\) と \(b\mapsto 1\otimes b\) で定まる二つの射のことを意味している。

\(\varphi_1 : B\to B\otimes_AB\) を \(\varphi_1(b)\dfn b\otimes 1\)、 \(\varphi_2 : B\to B\otimes_AB\) を \(\varphi_2(b)\dfn 1\otimes b\) と定義する。 \(A\to B\) の忠実平坦性より、左から \(A\) 上で \(B\) をテンソルすることで得られる \[B\to B\otimes_AB \tto B\otimes_AB\otimes_AB\] がイコライザーの図式であれば良い。ただし右側の射はそれぞれ \(\id_B\otimes\varphi_1\) と \(\id_B\otimes\varphi_2\) である。

まず \(B\to B\otimes_AB\) が単射であることは、掛け算写像 \(m : B\otimes_AB\to B\) がこの射のレトラクションであることからただちに従う。次に、掛け算写像に右から \(A\) 上で \(B\) をテンソルした \begin{align*} m\otimes\id_B : B\otimes_AB\otimes_AB &\to B\otimes_AB \\ b_1 \otimes b_2 \otimes b_3 &\mapsto b_1b_2\otimes b_3 \end{align*} は一つ目の \(\id_B\otimes\varphi_1\) のレトラクションであり、さらに \((m\otimes\id_B)\circ(\id_B\otimes\varphi_2)(b_1\otimes b_2) = 1\otimes b_1b_2\) となることから、 \(B\otimes_AB \tto B\otimes_AB\otimes_AB\) のイコライザーは \(B\to B\otimes_AB, b\mapsto 1\otimes b\) の像に等しいことが従う。以上で主張は示された。

\(A\) を Artin 環とすると、これは有限個の Artin 局所環の直積と同型である。

\(\mfp_1, \cdots, \mfp_n\) を \(A\) のすべての素イデアルとすると、\(A\to \prod_{i=1}^nA_{\mfp_i}\) は忠実平坦である。 \(B \dfn \prod_{i=1}^nA_{\mfp_i}\) と置く。さらに \(i\neq j\) に対して \(A_{\mfp_i}\otimes_AA_{\mfp_j} = 0\) であるから、特に忠実平坦降下により \(B\otimes_AB = B\) である。これから主張は直ちに従う。

以上から、\(A\) が Noether であることを示すためには、Artin 局所環が Noether であることを示すことが十分です。

Artin 局所環が Noether であることの証明

Artin 局所環は Noether 環である。

\(A\) を Artin 局所環、\(\mfm\subset A\) をその極大イデアルとする。 \(\Soc^1(A)\) を \(A\) の極小部分加群すべての和 (socle) とする。降鎖条件から \(\Soc^1(A)\subset A\) は長さ有限な部分 \(A\)-加群であり、特に有限次元 \(A/\mfm\)-線形空間である。 \(\Soc^k(A)\) を \(A\to A/\Soc^{k-1}(A)\) での \(\Soc^1(A/\Soc^{k-1}(A))\) の逆像と定義すると、 \[(0)\subset \Soc^1(A) \subset \Soc^2(A)\subset \cdots \] という昇鎖ができる。 \(f : A / \mfm^k\to A\) に対して \(f(1)\in \Soc^k(A)\) となるので自然に全射 \(\varphi_k:\Hom_A(A/\mfm^k,A)\to \Soc^k(A)\) を得る。特に、降鎖条件によって \(\mfm^k = \mfm^{k+1}\) となる \(k\) では、\(\Soc^k(A) = \Soc^{k+1}(A)\) も成り立つ。一方、極小条件によって、\(\Soc^k(A)\neq A\) であれば \(\Soc^k(A)\subsetneq \Soc^{k+1}(A)\) でなければならないから、これから \(\Soc^k(A)=A\) が従う。すると \(\varphi_k\) の定義から、\(f(1)=1\) となる \(A\)-加群の射 \(f : A / \mfm^k\to A\) が存在し、\(\mfm^k=0\) が従う。以上で Artin 局所環が Noether であることの証明を完了する。